Issue 9

P. Lazzarin, Frattura ed Integrità Strutturale, 9 (2009) 13-26; DOI: 10.3221/IGF-ESIS.09.02 20       2 2 2 2 ) 1(3 ) 1(6 Eh w h w    , w E 2 2 4 1 2      , (5a-b) Il sistema disaccoppiato dà luogo a due distinte equazioni scritte in termini di  e di w : 0 2 2 4    w w , 0 4 2 6  (dove ) (h   1 6 2 2 ) (6a-b) Adottando poi una funzione armonica per gli spostamenti  , gli spostamenti nel piano e quelli out-of-plane possono essere scritti in coordinate polari nel seguente modo [27]    d d 1 1 d d 1 2 r       r r uEh r r r uEh d d 1 1 d d1 1 2 2 φ                       d d d d 1 2 2 2 r r ) ( Ew (7a-c) Nel caso di piastre molto sottili o molto spesse, le relazioni (7a-b) si riducono a quelle valide per i casi notevoli di tensione piana o deformazione piana. Nel caso di intaglio laterale a V mostrato in Fig. 9 , le condizioni al contorno sono rappresentate dall’annullamento delle tensioni   e  r  sui fianchi dell’intaglio. Assunto un comportamento asintotico in forma generale, con    r~ ,rw ) ( ,     r~ ,r ) ( e 2 ) (     r~ ,r , che comporta 1   r~ , e adottato il metodo proposto da Williams per i problemi piani, l’equazione caratteristica in λ ha la seguente forma [28]   0 ) (cos 2sin 2sin       . (8) Figura 9 : Rappresentazione schematica dell’effetto ‘out-of-plane’; sistema di coordinate utilizzato nella trattazione analitica (simbologia in accordo con le referenze [27-29]). L’espressione alla sinistra rappresenta l’equazione di Williams relative al caso piano di un intaglio a V soggetto a modo II. L’espressione di destra dà invece il modo ‘ out-of-plane ’. Si noto come tale espressione coincida perfettamente con l’espressione che esprime gli autovalori di modo III [29] . Per illustrare la formulazione analitica, si consideri il giunto a sovrapposizione di Fig. 10 e, in particolare, il suo modello tridimensionale rappresentato in Fig. 10b . I campi di tensione sono stati determinati utilizzando modelli tridimensionali con raggio nullo alla radice dei cordoni (Fig. 10c) . I modelli piani con keyhole, anch’essi mostrati in Fig. 10c , sono stati utilizzati solo per i giunti di spessore ridotto che saranno discussi nella sezione 4 del presente contributo.