Issue 12

L. Collini, Frattura ed Integrità Strutturale, 12 (2010) 21-36 ; DOI: 10.3221/IGF-ESIS.12.03 25 tipo di analisi è la caratterizzazione del materiale, cioè la simulazione della sua risposta complessiva se sottoposto ad un semplice carico, come ad esempio la prova di trazione uniassiale. Molte procedure di omogeneizzazione possono essere impiegate anche direttamente sotto forma di modelli costitutivi del materiale, basati sulla microstruttura e atti a descrivere il macro-comportamento mettendo in relazione i tensori di tensione e deformazione completamente omogeneizzati. Confrontati con leggi costitutive semi-empiriche, tali modelli micromeccanici possiedono sia una chiara base fisica, sia l’intrinseca capacità di “zoomare” le quantità localizzate in ciascuna fase adottando le procedure di localizzazione. In questo modo è possibile determinare ad esempio il flusso plastico o il danno locali, quando la risposta macroscopica o lo stato di un campione o di una struttura sono noti a priori . Oltre alla caratterizzazione di un materiale o alla realizzazione di modelli costitutivi, la micromeccanica del continuo vede altre importanti applicazioni; tra tutte lo studio di fenomeni locali in materiali eterogenei, come l’evoluzione del danno su scala microscopica, l’innesco e la crescita di cricche, gli stati di tensione tra le interfacce macroscopiche e le superfici libere, gli effetti di instabilità locali, l’interazione tra cambiamenti di fase e microtensionamenti. Analisi di questo tipo possono venire condotte con diverse tecniche e procedure pratiche; in questa sezione si darà una descrizione di alcune di esse, soffermandosi maggiormente su quelle impiegate dall’autore. È conveniente suddividere le tecniche di modellazione microstrutturale in due grandi categorie. La prima di esse raggruppa i metodi che descrivono microgeometrie di materiali eterogenei sulla base di (limitate) informazioni statistiche, la seconda categoria abbraccia le metodiche di modellazione basate su microstrutture reali discrete. Metodi statistici Fanno parte di questa categoria gli approcci di tipo Mean Field e i metodi variazionali. Negli approcci di tipo Mean Field (MFAs) le grandezze di campo sono approssimate con le loro medie   p   ,  p   per ciascuna fase p : si parla in questo caso di piecewise (phasewise) uniform stress and strain fields ; le relazioni di localizzazione assumono la forma:         p p p p       A B (6) e quelle di omogeneizzazione:         1 p p p d        x con     p p p V     (7a)         1 p p p d        x con     p p p V     (7b) dove l’indice (p) indica una data fase del materiale,  (p) il suo volume, e V (p) =  (p) /  k  (k) la frazione in volume della suddetta fase. Si noti che, in contrasto con Eq. (3), i tensori di localizzazione A e B non dipendono dal vettore di posizione nel volume di controllo. Tra i metodi MFAs classici si ricordano quello di Mori-Tanaka, che è l’approccio più semplice nel descrivere completamente un composito bi-fase; quello di Eshelby, che in un lavoro del 1957 studiò il campo di tensione attorno ad un’inclusione ellissoidale immersa in una matrice infinita soggetta a una deformazione uniforme (Fig. 2); il metodo di Hashin e Shtrikman. A titolo di esempio si riportano le espressioni in forma chiusa delle proprietà elastiche di un composito bifase secondo le teorie di Eshelby, 1957 Eq. (8) , Hashin-Shtrikman, 1962 Eq. (9), Mori-Tanaka, 196 3 Eq. (10). Per la trattazione matematica completa si rimanda alla specifica letteratura, [2, 9-11].           i i m c t c E E           (8)                 1 1 * ( ) 0 ( ) 0 m m m r m r r HS E E L E I L E E E                 (9)                   1 1 * ( ) ( ) ( ) m r m m r m r r M E E I E E S S I E E E                        (10)  (i) = tensore degli sforzi dell’inclusione;