Issue 12

L. Collini, Frattura ed Integrità Strutturale, 12 (2010) 21-36; DOI: 10.3221/IGF-ESIS.12.03 24 possa essere ottenuta da tensioni e deformazioni mediate sul volume, ammesso che le macro- e microscale siano sufficientemente diverse. Ciò è molto importante, poiché rende possibile il concetto di materiale omogeneo equivalente dal punto di vista energetico al corrispettivo materiale microstrutturato. Per ciascuna regione di un materiale disomogeneo, i campi di tensione e deformazione locali  ( x ) e  ( x ) e le corrispondenti risposte macroscopiche  e  , possono essere formalmente messi in relazione mediante le espressioni di localizzazione (o proiezione):               x A x x B x (3) Se la regione si presenta sufficientemente estesa e non contiene significativi gradienti nelle distribuzioni di tensione e deformazione macroscopiche, le relazioni di omogeneizzazione possono scriversi nella forma:               1 1 2 1 1 s s s s s s s s d d d d                                       x u x n x u x n x x t x x (4) dove  s  è la superficie della regione in esame, n Γ il vettore normale alla superficie, u il vettore di spostamento, t ( x )=  ( x ) n  il vettore di trazione sulla superficie, e  il prodotto diadico tra vettori o diade (se a = a x i + a y j + a z k e b = b x i + b y j + b z k , a  b = a x b x ii + a x b y ij + a x b z ik + a y b x ji + a y b y jj + a y b z jk + a z b x ki + a z b y kj + a z b z kk ). I tensori A ( x ) e B ( x ) sono detti tensori di concentrazione della tensione e della deformazione (o funzioni di influenza). Si noti che i campi di tensione e deformazione medie sono univocamente determinati dai campi di spostamento e di trazione, dato che i costituenti sono omogenei e non presentano difetti o discontinuità (come fessurazioni) al loro interno. È importante notare che le equazioni (1) e (4) implicano che per un volume di integrazione abbastanza grande, le medie delle fluttuazioni sul volume si annullino:     1 1 0 S S S S d d               x x . (5) Importanti applicazioni delle analisi di omogeneizzazione sono la caratterizzazione di materiali, come ad esempio la simulazione di semplici prove meccaniche di carico (diagramma tensione-deformazione), e modelli costitutivi micromeccanici in grado di riprodurre il comportamento del materiale comunque caricato. Data la generale complessità e la casualità delle microstrutture reali, delle semplificazioni ed approssimazioni vengono solitamente impiegate nei processi di omogeneizzazione e localizzazione. Le reali espressioni per A ( x ), B ( x ),  ( x ),  ( x ), etc. non sono di solito determinabili. Tipicamente, tali approssimazioni sono basate sull’ipotesi di ergodicità degli stati di tensione e deformazione (un processo si dice ergodico quando, per un tempo che tende ad infinito, passa in ogni suo stato una percentuale di tempo pari alla probabilità di trovarsi in quello stato, cioè, in altre parole, è statisticamente omogeneo). Quindi si considera che volumi di materiale abbastanza estesi, scelti in maniera casuale, rispondano con lo stesso comportamento medio del materiale continuo che, di rimando, rappresenta le proprietà globali o effettive della struttura eterogenea. Idealmente, il volume di omogeneizzazione dovrebbe essere scelto come volume di riferimento, ovvero un sotto-volume di  S , che è statisticamente rappresentativo della microgeometria del materiale. Questo elemento di volume deve essere abbastanza esteso per permettere un campionamento significativo delle grandezze di campo di interesse, ma anche sufficientemente piccolo affinché risultino trascurabili i gradienti macroscopici. Nella pratica, può risultare difficoltoso studiare, e, di fatto, anche identificare, un RVE adatto a descrivere fedelmente la microstruttura del materiale eterogeneo; devono quindi essere prese in considerazione approssimazioni e ipotesi semplificative, come verrà di seguito mostrato in alcune applicazioni pratiche di modellazione microstrutturale. A PPROCCI E METODI DELLA MODELLAZIONE MICROMECCANICA ome descritto nella precedente sezione, le tecniche di omogeneizzazione sono volte a determinare la risposta di un piccolo volume rappresentativo di un materiale a struttura eterogenea sotto l’azione di prescritte condizioni meccaniche o termiche, deducendo da esso le proprietà effettive del materiale. L’applicazione più tipica di questo C