Issue 11

A. Pantano et alii, Frattura ed Integrità Strutturale, 11 (2009) 49-63 ; DOI: 10.3221/IGF-ESIS.11.05 51 incrementi temporali possono essere molto più larghi di quelli usati nel caso del metodo esplicito, ma questo non è il caso degli studi riguardanti la propagazione di onde. Vi sono altri fattori a favore dell’integrazione esplicita. Nei metodi espliciti gli spostamenti sono calcolati utilizzando informazioni relative a spostamenti e derivate rispetto al tempo degli spostamenti noti all’inizio di ogni incremento temporale. Conseguentemente la matrice di massa globale e la matrice di rigidezza non necessitano di essere calcolate e invertite, con grande risparmio computazionale rispetto all’analisi implicita. Inoltre poiché la matrice di rigidezza non necessita di essere formata e memorizzata, il metodo esplicito può lavorare con modelli 3D di grandi dimensioni richiedendo molto meno spazio disco e memoria del metodo implicito per la stessa simulazione. A causa della sua formulazione il metodo esplicito è anche molto più facile da implementare di quello implicito, e può gestire efficientemente non linearità del materiale mentre il metodo implicito in presenza di non linearità significative può avere difficoltà di convergenza [23]. In sintesi, un’analisi dinamica esplicita è molto più efficiente dal punto di vista computazionale per l’analisi di modelli di grandi dimensioni che devono essere studiati per tempo breve, come è il caso dei problemi di propagazione di onda con frequenze nell’ordine dei MHz che viaggiano in corpi dalle dimensioni non contenute. L’efficienza computazionale della procedura esplicita rispetto a quella implicita per i problemi di propagazione di onde può essere ulteriormente incrementata dall’uso di matrici di massa diagonali. La simulazione della propagazione delle onde ultrasonore generate tramite laser richiede un’analisi accoppiata termomeccanica. In questo studio si è utilizzata un’analisi termomeccanica accoppiata dove la soluzione meccanica viene ottenuta utilizzando un’integrazione esplicita alle differenze centrate, e le equazioni del trasporto termico sono integrate utilizzando un’integrazione alle differenze finite in avanti. L’equazione del moto ad un istante specifico è:               n n n n M d C d K d F      (1) dove l’indice n indica l’incremento temporale, [M] è la matrice di massa, [C] è la matrice di smorzamento, [K] è la matrice di rigidezza, {F} è il vettore delle forze esterne, e {d} è il vettore degli spostamenti. Nel metodo esplicito:           1 1 ( , , , ,...) n n n n n d f d d d d      (2) Le equazioni del moto del corpo sono integrate utilizzando un’integrazione esplicita alle differenze centrate:       1 1 1 ( ) 2 n n n d d d t       (3)         2 1 1 1 ( 2 ) n n n n d d d d t        (4) dove   d  è il vettore velocità e   d  è il vettore accelerazione. Sostituendo le Eq. (3) e (4) in (1):                     2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 n n n n n n M C d F K d M d d C d t t t t                    (5) Se [M] e [C] sono diagonali allora le equazioni diventano disaccoppiate e gli spostamenti al tempo n+1 possono essere ottenuti senza risolvere le equazioni simultaneamente. La formulazione di tipo “lumped” della matrice di massa determina una matrice di massa diagonale, soddisfacendo il requisito per disaccoppiare le equazioni. Questa formulazione prevede il posizionamento di masse ai nodi di un elemento in modo tale che la somma delle masse dia la massa totale dell’elemento. L’uso di una matrice di massa diagonale è di estrema importanza per l’efficienza computazionale della procedura esplicita. Il vettore delle forze interne [K]{d}n può essere calcolato sommando il contributo degli elementi in modo che venga richiesta la formazione della matrice di rigidezza globale. Oltre a disaccoppiare le equazioni, la matrice delle masse diagonale determina un incremento temporale stabile più lungo rispetto ad una formulazione con matrice di massa consistente. Le equazioni del trasporto termico sono integrate utilizzando un’integrazione alle differenze finite in avanti:       1 1 n n n n T T t T       (6) dove T è la temperatura.